切线平面计算器

在线切平面计算器将帮助您有效地确定曲线上给定点的切平面。此外，它可以准确处理 2 个和 3 个可变数学函数，并提供逐步解决方案。能够使用此计算器快速计算切平面，而无需经历微积分的所有步骤，可以节省大量时间。此外，您还将获得其理论背景，并会找到一些已解决的示例作为奖励。

什么是切线平面？

如您所知，导数 $\frac{dy}{dx}$ 函数的 $f（x）$ 在特定点表示该点的切线。您可以使用我们的 切线计算 器计算到曲面的切线。同样，偏导数 $frac{∂y}{∂x}$ $f（x）$ 在特定点表示该点的切平面。在某个点上，它将包含所有切线，这些切线与该点所考虑的函数的曲率相接触，如下图所示。

切线平面的条件：

构成表面的函数应该在一个点上是可微分的，以便该平面可能存在在那里。

切平面方程：

设 S 是由可微函数定义的曲面 $z = f（x，y）$涉及 2 个变量，并且 let $P_o = （x_o， y_o）$ 是 f 域中的一个点。然后，在 Po 处与 S 的切平面方程由下式给出：

$$z = f（x_o，y_o ）+f_x（x_o，y_o ）（x-x_o ）+f_y（x_o，y_o ）（y-y_o ）$$

在类似的线路上，切平面的一般方程 $P_o=(x_o, y_o, z_o)$ 到由数学函数定义的曲面 S $z = f（x，y，z）$给出了涉及 3 个变量

$$z = f（x_o， y_o， z_o） + f_x（x_o， y_o， z_o）（x − x_o） + f_y（x_o， y_o， z_o）（y − y_o） + f_z（x_o， y_o， z_o）（z − z_o）$$

如何找到切线平面方程？

您需要按照即将执行的步骤来查找由函数给定的表面上的切平面方程。这个切线平面计算器也在很短的时间内给出了类似的解决方案。

检查先决条件：

确保您具有表面的数学函数以及该表面上要计算方程的点的坐标。

求解偏微分：

对所考虑的表面的数学函数进行部分区分。详细的计算可以从下一节中显示的示例中看到。

计算某个点的部分差分：

计算给定点处的部分微分函数的值，以求切平面方程，如即将到来的示例所示。

已解决的示例：

以下示例清楚地说明了如何使用上述步骤确定所需的方程。我们的切线平面计算器也遵循与这些示例中使用的相同程序，您可以在几秒钟内获得完全相同的结果。

示例-1：

求出与曲面相切平面的方程 $z=x2+y2$ 在点上 $（1,2,5）$.

解决方案：

对于函数 $f（x，y） = x^2+y^2$ ，我们有：

$$fx（x，y） = 2x$$

$$fy（x，y） = 2y$$

因此，该点处的切平面方程 $（1,2,5）$）是：

$$2（1）（x−1）+2（2）（y−2）−z+5 = 0$$

$$= 2x+4y−z−5=0$$

示例-2：

求函数定义的曲面的切平面方程 $f（x，y）=sin（2x）cos（3y）$ 在点 $（W/3，W/4）$.

解决方案：

首先，我们将计算 $fx（x，y）$ 和 $fy（x，y）$那么我们将使用一般方程计算所需的切平面方程

$z=f（x_o，y_o ）+fx（x_o，y_o ）（x-x_o ）+fy（x_o，y_o）（y-y_o）$ 与 $XO = \frac{π}{3}$ 和 $y=\frac{π}{4}$：

$$f_x（x，y） = 2cos（2x）cos（3y）$$

$$f_y（x，y） = −3sin（2x）sin（3y）$$

$$F（\frac{π}{3}，\frac{π}{4}） = sin（2（\frac{π}{3}））cos（3（\frac{π}{4}）） = （\frac{\sqrt{3}}{2}）（\frac{-\sqrt{2}}{2}） = \frac{-\sqrt{6}}{2}$$

$$f_x（\frac{π}{3}，\frac{π}{4}） = 2cos（2（\frac{π}{3}））cos（3（\frac{π}{4}）） = 2（\frac{-1}{2}）（ \frac{-√2}{2}） = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$f_y（\frac{π}{3}，\frac{π}{4}） = 2\sqrt{2} − 3sin（2（\frac{π}{3}））sin（3（\frac{π}{4}）） = −3（3\sqrt{2}）（2\sqrt{2}） = −36\sqrt{4}$$

现在，我们将在一般方程式中代入这些值：

$$Z = f（x_o，y_o） + f_x（x_o，y_o）（x−x_o） + f_y（x_o，y_o）（y−yo_）$$

$$z = −6\sqrt{4} + 2\sqrt{2}（x − \frac{π}{3}） − 36√4 （y − \frac{π}{4}）$$

$$= \frac{\sqrt{2}}{2}x − \frac{（3\sqrt{6}）}{4}y − \frac{\sqrt{6}}{4} − \frac{π\sqrt{2}}{6} + \frac{3π\sqrt{6}}{16}$$

示例-3：

找到切平面 $x^2+ y^2 + z^2 = 30$ 在点上 $（1， -2， 5）$.

解决方案：

$$f（x， y， z）=x^2 + y^2 + z^2$$

$$∇f = （2x，2y，2z）$$

$$∇f（1，−2,5） = （2，−4,10）$$

$$\text{ 求解方程 } = 2（x - 1） - 4（y + 2） + 10（z - 5）$$

示例 4：

确定与曲面的切平面 $x2 + 2y2 + 3z2 = 36$ 在点上 $P = （1， 2， 3）$

溶液：

为了使用梯度，我们引入了一个新变量：

$$w = x^2 + 2y^2 + 3z^2$$

然后，我们的表面就是水平表面 $w = 36$。因此，表面的法线为： $$∇W = （2x， 4y， 6z）$$

在点 P 处，我们有 $∇w|P = （2， 8， 18）$）。使用点法向形式，切平面的方程为：

$$2（x − 1） + 8（y − 2） + 18（z − 3） = 0， \text { 或等效 } 2x + 8y + 18z = 72$$

如何使用切线平面计算器：

通过遵循即将到来的步骤，此在线计算器可以高效快速地计算切平面的计算方程： 您可以通过点击输入字段顶部的相关选项卡在 2 变量计算和 3 变量计算之间切换。

输入：

• 首先，在标题为“输入函数”的输入字段中输入所需的数学函数。
• 然后，只需根据函数中的变量数量输入坐标即可。

输出：

该计算器确定在坐标点处接触表面的切线平面（由给定的数学函数形成）的方程。它还提供了一个循序渐进的解决方案，需要对所有相关的细节进行区分。

常见问题：

用于确定切平面的基本数学框架是什么？

偏微分基本上用于确定其控制平面的方程。这个正切平面计算器基于相同的数学概念，并在几秒钟内产生准确的结果。

切平面位于二维空间还是三维空间？

切线位于二维空间中，但切线平面是在特定点接触表面的所有切线的组合，因此它位于三维空间中。

切向量和切平面有什么区别？

切向量是一条线，在某个点几乎不接触表面（由数学函数确定），而切平面是在特定点接触表面的所有切向量的组合。

切平面和法线之间的相关性是什么？

切线平面几乎不接触曲线曲面并平行于曲面运行，而法线则穿过曲面并垂直于曲面。

结论：

手动执行所有这些计算是一个非常繁琐的过程。这个在线切平面方程计算器是一个方便的资源，即使在处理 3 个变量函数时，它也能立即产生准确的结果。后端计算中使用的数学框架与手动过程中使用的完全相同。